Dérivation – Etude de fonctions

4         Opérations sur les dérivées

On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de .

4.1                       Opérations élémentaires

4.1.1                    Dérivée d’une somme

 

Proposition 1 :

Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .

, la fonction  est dérivable en  et .

Par extension, si f et g sont dérivables sur I,  la fonction  est dérivable sur I et .

 

Démonstration

Exemple :

Soit . f est définie sur .

D’après le paragraphe 3, il vient . Graphe.

 

4.1.2                   Dérivée d’un produit

Proposition 2 :

Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .

Alors la fonction  est dérivable en  et .

Par extension, si f et g sont dérivables sur I,  est dérivable sur I et .

 

La démonstration de la proposition 2 se met de manière tout à fait analogue à celle de la proposition 1.

 

Exemple :

Soit la fonction définie sur  par .

Il vient . Graphe.

 

4.2                       Fonction inverse et quotient de fonctions dérivables

Proposition 3 :

Soit g une fonction définie sur  et dérivable en .

Si , alors la fonction  est dérivable en  et .

Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction  est dérivable sur I avec

  .

 

Exemple :

Soit la fonction définie sur  par . g ne s’annule pas sur .

 Il vient . Graphe.

 

Proposition 4 :

Soient f et g deux fonctions définies sur  et dérivables en .

Si , alors la fonction  est dérivable en  et

.

Par extension, si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction  est dérivable sur I avec

.

 

Exemple 6

4.3                       Composition

Proposition 5 :

Soient  et  deux fonctions telles que .

Si f est dérivable en  et si g est dérivable en , alors  est dérivable en  et .

Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors  est dérivable est dérivable sur I et .

 

 

Exemple 7

4.4                       Fonction réciproque

Proposition 6 :

Soit  une fonction strictement monotone et dérivable en  tel que .

f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque .

Alors  est dérivable en  et .

Par extension, si  ne s’annule pas sur I, alors  est dérivable sur J et .

 

Exemple 8

4.5                       Dérivées successives

4.5.1                   Définitions

Définitions 1 :

Soit . On note .

On suppose que la fonction  existe et est dérivable de I dans .

On définit alors la fonction .

·        Si la fonction  existe, on dit que f est n-fois dérivable sur I.

·         est appelée dérivée n-ième de f sur I.  est également notée  ou .

 

Remarques :

·        On utilise souvent les notations suivantes :  et .

·        On désigne générale  par dérivée première et  par dérivée seconde.

·        Si f est n-fois dérivable sur I, alors ,  est  -dérivable sur I, et en particulier continue si . Pour tout , on a alors .

Exemple 9

4.5.2                 Pour aller plus loin